第五百六十九章千禧年七猜想之六：纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性

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纳维-斯托克斯方程

描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称n-s方程。

1827年，纳维说：“我提出了粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。我只考虑了不可压缩流体的运动。”

1831年，泊松说：“我考虑了可以压缩的情况。”

1845年，斯托克斯说：“我独立提出粘性系数为一个常数的形式。”

路人甲说：“后来大家称此为纳维-斯托克斯方程，又叫ns方程。”

路人乙说：“看似描绘生活中最简单的现象，但确实物理界最难的方程。为什么那么难”

路人甲说：“因为跟湍流有关系。这是一种再常见不过的现象。无论是在3万英尺高空飞行时颠簸的气流，还是家里浴缸出水口形成的漩涡，本质都是湍流。然而，熟悉的湍流却是物理世界中最难以理解的部分之一。”

路人乙说：“我知道。一条平稳流动的河流，是一个典型的无湍流体系，河流的每一部分以相同的速度运动。湍流则打破了这一规律，使得水流不同部分的运动方向和运动速率都不相同。物理学家将湍流的形成描述为：首先，平稳流动中出现一个涡流，这个涡流中会形成更多小涡流，小涡流进一步分化，使得流体被分解成许多离散的部分，在各自运动方向上与其他部分相作用。”

路人甲说：“科学家们希望理解的是，平流如何一步步瓦解成为湍流、已产生湍流的体系之后的形状是怎样演变的。但千禧年大奖悬赏的是更为简洁的问题：证明方程的解总是存在。换句话说，这组方程能否描述任何流体，在任何起始条件下，未来任一时间点的情况。”

来自普林斯顿大学的数学家charliefefferman说道，“第一步就是要尽力证明这些方程可以产生一些解，尽管这并不能让我们真正理解流体的行为，但不这样做，就完全无法入手这个难题。”

路人乙说：“如何证明那些解存在呢首先可以考虑方程在什么条件下会“无解”。”

路人甲说：“纳维-斯托克斯方程组涉及流速、压力等物理量的变化。”

路人甲说：“运算这组方程，经过有限的时间，系统中出现一个以无限速度运动的粒子。那样就会很麻烦：对于一个无限大的量，我们无法计算出它的变化。数学家们把这种情况称为“发散”。在“发散”的情况下，方程失效，解也就不复存在。”

路人乙说：“证明“发散”的情况，或者说方程解总是存在，不会发生，等同于证明流体中任何粒子的最大运动速率，被限制在某一有限的数值之下。相关物理量中，最重要的量是流体中的动能。”

路人甲说：“当我们用纳维-斯托克斯方程对流体建模，流体会具有一定初始能量。但是在湍流中，这些能量会聚集起来。原本均匀分散在流体中的动能，可能会聚集在任意小的涡流中，那些涡流中的粒子在理论上可以被加速到无限大的速度。”

普林斯顿大学的vladvicol说：“当我的研究进入越来越小的尺度，动能对于方程解的控制作用则越来越弱。解可以是任意的，但我不知道如何去限制它。”他和tristanbuckmaster合作完成了有关纳维-斯托克斯方程的最新工作。

路人乙说：“根据方程失效的尺度，数学家们对像纳维-斯托克斯这样的偏微分方程进行分类。”

路人甲说：“纳维-斯托克斯方程就处于分类谱系的极端。”

路人乙说：“这组方程中的数学难度，某种意义上精确地反映出其所描述湍流体系的复杂程度。”

vicol解释说：“在数学角度看，如果你将某一点放大，那么就会失去解的部分信息，但是湍流的研究恰恰就是这样——动能从宏观传递向越来越小的尺度。所以，湍流的研究要求你不断地放大。

路人甲说：“当谈及物理背后的数学公式，我们很自然地会想到：这会不会给我们研究物理世界的方式带来变革”

路人乙说：“纳维-斯托克斯方程和千禧年大奖引出的答案既是肯定也是否定的。经过近200年的实验，这些方程确实有效：由纳维-斯托克斯方程预测的流体流动与实验中观察到的流动总是相符的。如果你是一位物理学家，实验中这样的一致性或许已经足够。但数学家需要的更多——他们想要确定这组方程是否具有普遍性，想要精确捕捉流体的瞬时变化，无论何种初始条件，甚至去定位湍流产生的那个起点。”

fefferman说：“流体行为的诡谲总是令人惊叹。而那些行为理论上可以用这组基本方程来解释。它能很好地描述流体的运动。但是从方程描述流体运动到描述任意流体的真实运动，这一过程仍然未知。”

n-s方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。

它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解；但在部分情况下，可以简化方程而得到近似解。

例如当雷诺数re<=1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，n-s方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，n-s方程又可简化为边界层方程，等等。

在计算机问世和迅速发展以来，n-s方程的数值求解才有了较大的发展。

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