第五百六十一章朗兰兹纲领

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1979年，罗伯特朗兰兹突发奇想，觉得自己能统一整个数学。

“数学之间是可以联系的吧”罗伯特朗兰兹陷入深深的思索。

“一定的，数学是可以全部被统一的，任何一种类型的数学它背后的本质一定相同。”

对于朗兰兹来说，把每个数学模型背后真正的本质给找出来，并证明是同一个东西即可。

数论好理解。自守形式只不过是三角函数和椭圆函数的推广而已。群里最后也要转化成那种连续群来作为一个单位。

1988年，朗兰兹（langlands）是第一个获得美国国家科学院数学奖的人。他获奖是由于“将群表示论带入到与自守形式理论和数论的革命性新关系的非凡远见”。

数学家一直想要找寻质数的规律。质数就像是数论的原子元素，是算法研究的基础。它们的数量是无限的，但它们的分布却似乎是随机地散落在数位中。为了找到质数中的规律，比如它们出现的频率，数学家必须将它们与其他事物联系起来。准确说来，质数就像一个密码，当你找到正确的阅读密钥时，它就变成了令人愉悦的信息。质数看起来非常随机，但通过朗兰兹纲领，就会发现它们有着一个非常复杂的结构，能够与各种其他事物联系起来。

2018年3月20日，挪威科学与文学院宣布，『2018年度的阿贝尔奖』授予普林斯顿高等研究院的罗伯特朗兰兹，以表彰他提出了连接表示论和数论的极具远见的纲领。他所提出来的『朗兰兹纲领』试图构建数学中的大统一理论，这是一代代数学家所追求的目标。

罗伯特.朗兰兹，加拿大数学家，普林斯顿高等研究院的荣誉退休教授、加拿大皇家学会会员、伦敦皇家学会会员。其在非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域进行深入研究，得出把它们统一在一起的朗兰兹纲领，并首先证明gl的情形，这个纲领推广了阿贝尔类体论、赫克理论、自守函数论以及可约群的表示理论等。

朗兰兹所提出的朗兰兹纲领探讨的是现代数学中的两大支柱『数论与调和分析』之间的深层联系。数论研究的数字之间的算法关系，被认为是『最纯』的数学领域;调和分析是数学的一个重要分支，研究及扩展富氏极数及富氏变换。之前，这两个领域被认为是毫无关联的，而它们之间的联系其实有着深远的影响，被数学家用来解答与质数性质有关的问题。同时，朗兰兹纲领提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守型之间的一个关系网。

有一个与质数结构相关的问题是:『哪些质数能用两个质数的平方和表示。』在17世纪，数论学家发现，所有能用两个质数的平方和表示的质数都有一个共同性质，当它们除以4时，余1。这一发现揭示了质数的一种隐藏结构。到了18世纪末期，数学家高斯对这一奇妙的关联进行了概括，它的『互反律』用公式将那些等于两个质数的平方和的质数，与除以4余1这个特征联系了起来。在朗兰兹的信中，他在高斯发现的互反律基础上，提出了更广泛的延伸。

高斯的定律适用于指数不高于2的二次方程。但朗兰兹认为，在三次、四次等高阶方程中产生的质数，应该与调和分析成互反关系。朗兰兹纲领就将多项式方程的质数值与分析和几何学中研究的微分方程的谱相联系到一起，并认为这两者之间应该存在互反关系。因此，我们应该能通过了解哪些数字出现在相应的光谱中，来表示哪些质数出现在特定的情况中。

1967年，朗兰兹首次阐述了这一构想，当时年仅30岁的朗兰兹在一封写给著名数学家安德烈韦伊的信中提到了这一计划，这是一个思考数学的全新方式。在这封17页长的信中，他谦和的写道:「如果您愿意把它看作是纯粹的推测，我会很感激;如果不愿意，我相信您身边就有一个废纸篓。」

从那时起，一代又一代的数学家开始接受并扩展了他的构想。现在，朗兰兹纲领所涵盖的领域非常多，因此通常被认为是数学界的『大统一理论』。就数学史而言，这可以说是革命性的。

1979年，朗兰兹发展了一项雄心勃勃的革命性理论，将数学中的两大分支数论和群论之间建立了新的联系。通过一系列的推测和分析，发现了与涉及整数的公式有关的不可思议的对称性，并以此提出『朗兰兹纲领』。朗兰兹知道，证明自己理论立基的假设这项任务需要几代人的共同努力，而证明『基本引理』将是证明这项假设的合理跳板。他和同事以及学生虽然能够证明这一基本定理的特殊情况，但证明普通情况所面临的挑战却大大超出他的预想。这项难度极高的工作整整历时30年才由数学家吴宝珠证明完成。

朗兰兹纲领是当今数学领域非常活跃的研究方向，它联系了三种来源各异的数学对象:伽罗瓦表示、自守表示和代数簇的各种上同调理论，使得相应的三种不变量[阿廷l函数、自守l函数、哈斯-威尔l函数]相匹配。这三大领域的结合为数论问题提供了有力的杠杆，怀尔斯、泰勒等证明的谷山-志村猜想便是一个范例。朗兰兹纲领的核心问题是函子性猜想，蕴含了很多著名的猜想，如阿廷猜想、拉马努金猜想、佐藤-塔特猜想等。

其中，迹公式是研究朗兰兹纲领的一个重要工具。可见，研究朗兰兹纲领的团队需要数论、代数群、李群表示论和代数几何专长的研究人员。

如今，研究朗兰兹纲领的数学家正试图证明这种关系以及其他许多相关的猜想。与此同时，他们正在用朗兰兹型的联系来解决那些本看似遥不可及的问题。其中最著名的成果是数学家安德鲁．怀尔斯在20世纪90年代初对费马大定理的证明。怀尔斯的证明部分取决于朗兰兹早在几十年前就预言过的数论和分析之间的关系。

另外，越南数学家吴宝珠试图用公式表述一项有关基本引理的精巧证法，终于在2009年证明。吴宝珠说:「我只是证明了纲领的基本引理，不是整个纲领。我们的下一个目标是整个朗兰兹纲领，基本引理只是它的基础，是其中一座小山峰。爬过这座山峰后，现在可以瞭望朗兰兹纲领了。前面是一座大山，我们的问题是如何爬上去。其中一件事是朗兰兹回来了，他将为我们指示解决整个纲领的新路线。我认为，整个纲领也许需要我一生的时间。」

事实上，朗兰兹纲领是数学中一系列影响深远的构想，联系数论、代数几何与约化群表示理论。这些年来，朗兰兹纲领已取得巨大的扩展。然而，当抛开那些为了实现朗兰兹的构想而建立的复杂系统时，会发现激励这个庞大构想最初动力的仍是最基本的数学问题。理解方程中出现质数的性质，基本上就等同于对算术世界的基本分类。

自从1990年以来，有3位数学家的工作因为部分解决了朗兰兹纲领中的猜想，从而获得了菲尔兹奖，这足以看出朗兰兹纲领的重要性：

第一位乌克兰数学家弗拉基米尔德林费尔德。由于他在朗兰兹纲领和量子群这两个领域取得了决定性的突破并促进了一大批研究的进展，他于1990年获得菲尔兹奖。

第二位洛朗拉佛阁。他证明了与函数体情形相应的整体朗兰兹纲领，于2002年获得了菲尔兹奖。拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数体而非通常的数体情形提供了这样一种完全的理解。

第三位吴宝珠。『通过引入新的代数-几何学方法，吴宝珠证明了朗兰兹纲领自守形式中的基本引理』，

代数、几何、数论、分析与量子物理等领域的研究内容乍一看似乎相去甚远，但是朗兰兹纲领却在这些不同的数学分支之间建立起千丝万缕的联系。如果我们把这些分支看成数学这个秘密世界中的一块块大陆，朗兰兹纲领就是功能强大的运输工具，可以让我们在各个大陆之间瞬时往返。

在数学中，被称为『纲领』的成果屈指可数，出名的仅有爱尔兰根纲领、希尔伯特纲领和朗兰兹纲领这三个。

朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支:数论、代数几何和群表示论，实际上是密切相关的，而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数，被称为l-函数。

l-函数可以说是朗兰兹纲领的中心研究对象。数学界著名的七个『千禧年大奖问题』中有两个就是关于l-函数的，分别是黎曼假设和bsd猜想。

朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些l-函数，并猜测一般线性群自守表示的一些l-函数跟来自数论的伽罗瓦群的一些表示的l-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化，逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。

特别地，拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数体而非通常的数体情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数体设想为由多项式的商组成的集合，对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。拉佛阁对于任意给定的函数体建立了其伽罗瓦群表示和与该体相伴的自守型之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990年菲尔兹奖获得者弗拉基米尔德林费尔德的工作为基础，后者在20世纪70年代证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁首先认识到德林费尔德的工作可以被推广而为函数体情形的相应的朗兰兹纲领提供一幅完整的图像。在这一工作的过程中，拉佛阁还发现了一种将来可能被证明是十分重要的新的几何构造，所有这些发展的影响正在波及整个数学。

朗兰兹纲领是对现在数学诸多领域一种统一性的看法和普遍性的观点，由一系列规模宏大的猜想所组成，其中有些猜想甚至还没有形成明确的数学语言。朗兰兹纲领还有很多的各种各样的推广，比如说几何朗兰兹纲领可能和物理关系更密切一点，还有p‘-adic的朗兰兹纲领和数论的关系更加密切一点这里还有很多的问题等等大家去探索。朗兰兹纲领是数学中一系列影响深刻的构想，联系了数论、代数几何以及群表示理论。依靠朗兰兹纲领，数学家在一个领域不能解决的问题，可以在其他领域证明解决。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中，直到它被解决为止。所以，朗兰兹纲领是21世纪最大的数学难题，也是未来最有潜力的研究领域!

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第五百六十一章 朗兰兹纲领

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