第五百五十五章局部同构定理

章节错误,点此举报(免注册),举报后维护人员会在两分钟内校正章节内容,请耐心等待,并刷新页面。

关于彭罗斯的宇宙，还存在某种更为令人惊奇的事情。从一种奇特的有限意义上来说，由于受到“局部同构定理”的制约，所有的影罗斯图案都是相似的。彭罗斯证明：任何图案中的每一个有限区域，都包含在所有其他图案中的某处。此外，它在每种图案中出现无穷多次。

为了理解这种情形有多么狂，请想象你正居住在一个无限大平面上，这个平面由不可数的无穷多种彭罗斯铺陈中的一种镶嵌而成。你可以在这不断扩张的面积上一片一片地检查你的图案。无论你探索多大的面积，你都无法确定自己是处在哪一种铺陈方式上。去往远处以及检查不相连的区域都毫无帮助，因为所有这些区域都属于一个大的、有限的区域，而这个区域在所有图案中都被精确地复制了无穷多次。当然，对于任何周期性镶嵌图而言，这都是显而易见的事实，然而彭罗斯宇宙并不是周期性的。它们有无穷多种方式使得彼此显得不同，却又只能在触不可及的极限上才能将它们彼此区分开来。

假设你已探究过一个直径为d的圆形区域。我们把它称为你所居住的“镇”。突然之间，你被传送到一个随机选择的平行的彭罗斯世界。你离一个与你家乡的镇里的街道一模一样的圆形区域有多远康韦用一条超凡卓越的定理给出了答案。从你家乡的镇的边界到那个一模一样的镇的边界的距离，绝不会超过黄金比例的立方的一半的d倍，或者说就是2.11+[译者注：这里的加号（+）表示（1.61803398…）=2.1180399…]乘以d。（这是一个上限，而不是平均值。）如果你朝着正确的方向走，那么你不需要超过这个距离，就会发现自己置身于你自己家乡的镇的精确复制品中。这条定理也适用于你身处的宇宙。每一种大的圆形图案（有无穷多种不同的图案）都可以朝某个方向走过一段距离而到达，这个距离必定小于这个图案直径的大约两倍，更有可能大约就等于该直径。

这条定理相当出人意料。考虑一列无模式的数字序列，例如π，展示出了一种类似的同构。如果你选择一列由10个数字构成的有限序列，然后从π中的一个随机位置开始，当你沿着π走得足够远的话，你就肯定会遇到与此相同的序列，不过你必须走的距离不存在已知的上限，并且预期的距离远多于10位数。这个有限数列越长，你可以预计要再次找到它就需要走得越远。在一种彭罗斯图案上，你总是非常靠近家乡的一个复制品。

飞镖和风筝恰好适合铺陈在一个顶点周围的方式只有七种。让我们首先来考虑（用康韦的术语来说）两种具有五轴对称性的方法。

太阳（如图1.8中的白色部分所示）不强制其周围任何其他镶嵌片的放置方式。不过，如果你添加几片，使其一直保持五轴对称，那么就会迫使你构造出如图所示的这个美丽的图案。它是唯一确定的，直至无穷。

图1.9中的白色部分所表示的星星，强制在其周围铺陈10片浅灰色风筝将这个图案放大，始终保持其五轴对称，你就会创造出另一种如同花朵一般的图样，这种图样也是无穷的和独一无二的。各式星星和太阳图案是仅有的具有完美五轴对称性的彭罗斯宇宙，并且从一种令人愉快的意义上来讲，它们是等价的。膨胀或者收缩这两个图案中的任何一个，你就会得到另一个。

a尖是围绕一个顶点铺陈的第三种方法。它不强制使用任何其他镶嵌片。两点、杰克和王后在图1.10中用白色区域表示，四周包围着它们直接强制铺陈的镶嵌片。正如彭罗斯所发现的［后来巴赫（clivebach）也独立作出了这一发其中现］，有些七顶点图形会使得一些并不与直接受到这种强迫作用的区域相连的镶嵌片的摆放受到影响。

在所有彭罗斯宇宙中，最超凡卓越的、对于理解这些镶嵌片至关重要的种，就是无限车轮图案，其中心部分显示在图1.11中。在其中心处，用粗黑线勾勒出的正十边形（它的每条边都由一对长边和短边构成）就是康韦所谓的“车轮”。在任何图案上，每个点都在一个和这个图案完全一样的车轮内部。将其膨胀一步，我们就看到每个点都处于一个更大的车轮内部。相似地，每个点又都位于每一代车轮内部，尽管这些车轮并不需要是同心的。

请注意辐射至无穷的那10条浅灰色轮辐。康韦将它们称为“虫”。它们是由长长短短的领结构成的，其中长短领结的数量之比是黄金比例。每一个彭罗斯宇宙中都包含着无限条任意长度的虫。膨胀或者收缩一条蠕虫，你就会得到沿着同一根轴的另一条虫。瞧，在无限车轮图案中，两条完整的蠕虫横跨了中心的车轮（它们在其内部时不是灰色的）。其余的轮辐都是半无限蜻虫。除了这些轮辐以及中心车轮内部以外，这个图案具有完美的十重对称。在任意两根轮辐之间，我们看到太阳和星星的图案越来越大的部分交替出现。

这个无限车轮图案中的任何一根轮辐都可以两边对调（或者与此等价地，其中的每一个领结都可以两端调转），结果除了中心车轮内部的那些镶嵌片外，这根轮辐仍然会与周围的所有镶嵌片相符合。图中共有10根轮辐，于是就有2=1024种状态组合。不过，在去除旋转和翻转之后，就只有62种完全不同的组合了。每种组合都在车轮内部留下一个区域，康韦将其命名为“十足动物”。

十足动物是由10个全同等腰三角形构成的，这些三角形的形状为放大的半个飞镖。具有最高对称性的十足动物是图1.12中所示的圆锯和海星。和一条虫一样，每个三角形都可以翻过来。像之前那样，通过忽略旋转和翻转，我们就得到62种十足动物。想象每个十足动物周界上的凸顶点都标注为7，四顶点都标注为h。为了继续铺陈，这些h和7都必须按照通常的方式与镶嵌片的头尾相配。

将轮辐按它们在无限车轮图案中所示的那种方式排列时，在其中心处就形成了一个被称为蝙蝠侠的十足动物。蝙蝠侠（用深灰色表示）是唯一能够被合乎规则地铺陈的十足动物（没有任何有限区域可以具有一种以上的合乎规则的铺陈方式）。然而，蝙蝠使并不强制产生无限车轮图案。它只不过是允许产生这种图案。实际上，一种合乎规则的铺陈的任何一个有限部分都不能强制产生一个完整图案，因为每种铺陈中都包含这个有限部分。

请注意无限车轮图案是双侧对称的，它的对称轴竖直通过蝙蝠侠。膨胀这个图案，它保持不变，只是对一条垂直于这条对称轴的直线发生镜面翻转。蝙蝠侠中的五个飞镖及其两个中心风筝，是任何彭罗斯宇宙中绝无仅有的不在一个五重对称区域内的镶嵌片。其他所有的在这个或者别的图案中的镶嵌片都在无穷多的五重对称区域中。

通过挪动这些轮辐中的蠕虫，形成另外61种组合，就会在中心车轮内部产生另外61种十足动物。所有这61种十足动物都是下面这种意义上来说的“洞”。一个洞，是指任何不能被合平规则地铺陈的、有限的、空的区域，它被一种无限铺陈包围着。你也许会猜测每种十足动物都是无限多种铺陈的中心，不过彭罗斯的宇宙在这里跟我们开了另一个玩笑。令人惊奇的是，有60种十足动物强制产生的铺陈只有独特的一种，这种铺陈方式与只在由轮辐组成的铺陈中显示出来的那种方式有所不同。只有蝙蝠侠和另一种十足动物除外，后者被命名为一部法国动画片中的一个角色，名为阿斯特里克斯。像蝙蝠侠一样阿斯特里克斯允许产生一种无限车轮图案，不过它也允许产生一些其他类型的图案。

八哥电影

第五百五十五章 局部同构定理

第五百五十五章局部同构定理