第四百二十一章 格罗滕迪克非阿贝尔代数几何学
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格罗滕迪克发现概形理论也有概括不了的东西。
格罗滕迪克发现概形理论也有概括不了的东西。格罗滕迪克发现概形理论也有概括不了的东西。1928年3月28日，格罗滕迪克出生于德国柏林的一个犹太家庭，他在开始其数学研究的生涯时，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。在这之后，格罗腾迪克投入到了同调代数的研究中。也是在那个时期，他开始了与塞尔的长期著名通信。从塞尔以及其他的数学家那里，格罗滕迪克学到了许多现代数学和代数几何的基本知识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的兴趣。他研究建立代数几何基础理论的强烈动机之一其实也是为了想证明那个与黎曼猜想类似的有限域上高维代数簇的韦依猜想。前面曾经谈到在仿射代数簇和它的坐标环之间有一一对应的关系，因此对仿射代数簇的几何研究也就可以转化为对相应的坐标环的代数研究。然而坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个专门的名称叫“-代数(-algebra)”。由于不是每个交换环都可以成为仿射代数簇的坐标环(例如整数环就是如此)，所以格罗腾迪克就想用任意的交换环来构造一种类似于仿射代数簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都可以成为这种抽象几何对象的“坐标环”。大约在1957年左右，卡吉耶(Cartier)建议用交换环的全体素理想的集合（称为的“素谱”）来作为与对应的“几何对象”，它是经典仿射代数簇的抽象推广。这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。这是因为每个交换环的素谱连同它上面的结构层一起，都能够组成一个环层空间(，)，这个环层空间就是最简单的概形——“仿射概形(affinescheme)”。这个仿射概形就是格罗腾迪克心目中的“抽象的几何对象”。一旦有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就能够转化为对任意交换环的代数研究，这就将极大地拓展这种新几何的适用范围，实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。
概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”后而得到的。由于仿射概形是仿射代数簇的推广，因此很明显：概形确实是经典代数簇的抽象推广。
1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个报告。他的这场报告不是对他过去已取得成果的汇报，而是对其未来十年工作的预告。后来被誉为代数几何的圣经的八卷《代数几何基础》(简称EGA)，就是格罗滕迪克在1960-1967年间与迪厄多内(Dieudonné)合作完成的。在写完EGA之后，格罗腾迪克和他的合作者们一起又马不停蹄，继续撰写缩写代号为SGA的另外八卷系列代数几何专著。就这样，通过总篇幅达7500页的这两套书的写作，格罗腾迪克在20世纪60年代末，终于将经典的代数簇理论推广成了适用面更广的概形理论，真正为整个代数几何学建立起了一个牢固的逻辑基础，并且彻底重写了代数几何。
格罗腾迪克的概形理论将代数几何打造成了一个在很大程度上将几何、代数、数论与分析完美统一起来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何理论所没有的优点。例如在概形上，可以有严格的“一般点(genericpoint)”、“基变换(changeofbases)”、以及“幂零元(nilpotentelement)”等非常有用的概念，并且可以用精细的抽象代数的方法来研究几何对象的各种抽象的“几何性质”，这样就为解决一大批重要的经典数学问题开辟了道路。同样在概形上，我们可以做所有的在经典代数簇上曾经做过的事情，例如可以定义广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，可以有层的上同调理论(包括Serre对偶定理等)，可以建立严格的代数簇分类理论和黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交理论(包括周环和陈类)等。在概形上也能够做以前根本无法做到的事情，例如可以构造模空间的严格理论，尤其是可以建立能够应用于数论的“算术代数几何”理论等。
后来的历史发展证明，当经典代数几何的逻辑基础问题被彻底解决后，代数几何便立即取得了巨大进展，并因此促进了20世纪后半叶现代数学的大发展。下面列举一些现代数学中因代数几何的进步而获得的重大成果，它们分别是：德利涅(Deligne)证明了数论中韦依猜想、广中平佑解决任意维数代数簇的奇点解消问题、芒福德(Mumford)建立了一般模空间的理论、法尔廷斯(Faltings)证明了数论中的莫德尔(Mordell)猜想、森重文完成了3维代数簇分类、怀尔斯(Wiles)证明了数论中著名的费马大定理以及吴宝珠证明了朗兰兹(Langlands)纲领中的基本引理等。不仅如此，伴随着这些重大问题的解决过程，同时又出现了一大批全新的数学研究领域，其中尤其令人想不到的是概形理论对于数学物理研究的巨大推动作用，而在量子场论中出现的许多新思想（例如弦理论、镜像对称和量子上同调等）反过来又促进了对于代数簇的拓扑和计数几何的研究。人们常说格罗滕迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点”。数学家巴斯(Bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。
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