第三百九十章柯尔莫哥洛夫湍流定理

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1941年柯尔莫哥洛夫在建立湍流的统计理论过程中提出的三个基本假设。即局部均匀各向同性湍流。

柯尔莫哥洛夫的学生盖尔范德说：“老师，你对于涡流理论有新理解吗？”

柯尔莫哥洛夫说：“假如流体向各方面无限扩展，则在大雷诺数时，可以认为湍流涡旋运动的随机特征是各向同性的。”

盖尔范德说：“没错，有什么问题吗？”

柯尔莫哥洛夫说：“但实际上，这种条件很少能被满足：一方面，流动会受到固体边界的限制；另一方面，流动的总能量也不可能无限制扩大，量级为L的大涡旋运动肯定不是各向同性的，但对于小涡旋，整体运动的影响迅速下降。”

盖尔范德说：“你的意思是虽然流动整体式非各向同性的，但在给定的微小区域内，可以近似的把它看作是各向同性的。”

柯尔莫哥洛夫说：“没错。这正是我的第一假设。”

盖尔范德说：“那你的第二假设的内容是？”

柯尔莫哥洛夫说：“在局部均匀各向同性区域中，流体运动由内摩擦力和惯性力决定。”

盖尔范德说：“嗯，有点意思。”

柯尔莫哥洛夫说：“涡旋体系单位体积中传递的能量流在数值上等于能量耗散率，与此相应，运动统计特征可以依赖的参数只有能量耗散率和运动粘性系数。”

盖尔范德说：“还有第三假设内容吗？”

科尔莫哥洛夫说：“当然。在大雷诺值时，存在称为惯性范围的尺度区间，在此范围内，内摩擦力的影响是不重要的，因而可以略去，运动图像由惯性力决定。”

一边说，柯尔莫哥洛夫写出了这个尺度区间的范围。

K41理论认为，无论一个湍流系统如何复杂，其涡旋结构都有着相似性，即涡的动能总是由外力作用施加给流场，并注入最大尺度（假设为L）的涡结构。然后，大尺度涡结构逐次瓦解并产生小型涡旋，同时也将动能由大尺度逐级传向小尺度结构，并依此类推。但此过程并不会无限进行下去，当涡结构尺度足够小（假设为η）时，流体粘性将占据主导地位，动能转化为内能在该尺度上耗散掉，继而不会继续传向更小尺度的涡结构。这个过程，被称为能级串过程。

我们试举一例将其具体化。假设有一个长度尺度为L的水桶，我们手持搅拌器在同样的尺度L上对桶里的水进行搅拌。不难想象，桶中会出现尺度为L的最大涡旋结构。

随着时间的推移，桶中的涡结构尺度层次会变得更为丰富，不断有更小的涡产生。此时，系统将达到一种动态能量守衡：动能由搅拌器在大尺度L上施加给系统，系统中的动能由尺度为L的大涡一级级传向小涡结构，最终由于粘性耗散在最小尺度的涡结构里。整个系统力作而兴，力息而竭。如果我们撤去搅拌器的外力，桶中的涡旋结构将会慢慢衰减，直至被粘性消耗殆尽。

如果柯老邪的发现仅仅是这样一个有着些许诗意的湍流物理模型，K41理论的江湖地位难免会大打折扣。事实上，K41理论之所以成为湍流界的至尊，是由于其在物理模型之上引入了对于湍流的定量描述。而数学，是描述自然规律唯一有效的语言。

由于人类在纳维-斯托克斯方程面前的无力，引入数学描述并非易事。为此，柯老邪以其深刻的物理直觉引入了一个大胆的假设，将整个问题抽丝剥茧，直至其本质完全暴露，再辅以初等数学的量纲分析便得到了描述湍流场涡结构动能的最有效的一个公式：

S(l)=Cε/3l/3

式中，l为湍流场中两点间距离，ε为由大尺度向小尺度的动能传递率，亦等同于小尺度动能耗散率，C为无量纲的柯尔莫哥洛夫常数。S(l)为二阶结构函数，其定义为S(l)=〈δu(l)〉，即湍流场中相距为l两点间速度差δu(l)平方的（空间或时间）平均值。此结构函数乃柯老邪独创之统计量，它度量了尺度小于等于l的所有涡结构之动能。

此公式为K41理论的最核心部分，被称为“柯尔莫哥洛夫之2/3标度律”。正如许多伟大的物理公式一样，柯老邪的2/3律形式优美，结构简单。而在这令人为之倾倒的美感背后，却隐藏着非凡的物理含义。

原来，湍流场中不同尺度l上的涡结构动能并非任意分布，而是要服从l/3的幂函数形式。因此，涡动能从大尺度到小尺度以幂函数形式衰减。而由于柯老邪引入的假设，2/3律只在一定尺度范围η

所谓实践是检验真理的唯一标准，在柯老邪如此天马行空的物理假设下，K41理论的正确与否似乎只能通过物理实验来检验。这也的确成为了K41理论问世之后各学派争相实验的主题。这些实验尺度大小有别，流动形态各异，而万变中的不变却是所测得的湍流2/3标度律–柯老邪公式中2/3这个数字被无数实验所证实。其中最惊人的当属卡尔·吉布森（CarlGibson）教授1991年所测得的星系湍流，其结构函数在近十个数量级的尺度范围内与湍流标度律相符。柯老邪一念之力，竟至于斯。

在后世的湍流研究中，对于K41理论应用所取得的硕果璀璨绚丽，许多看似无从下手的问题由于K41理论的引入迎刃而解。柯老邪的莫斯科学派也从1946年开始组织两周一次的研讨会，精研K41理论在具体湍流体系中的运用。从这里走出的柯老邪在湍流界的四大弟子，亚历山大·奥布霍夫（AlexanderObukhov），米哈伊尔·米林斯奇科夫（MikhailMillionshchikov），安德雷·莫宁（AndreiMonin）与阿奇瓦·亚格洛姆（AkivaYaglom）将于日后在各自的领域内独领风骚。其中的奥布霍夫与莫宁分别接管和领导了苏联在大气湍流与海洋湍流上的研究。欣喜之余，柯老邪豪言道：“我的一名弟子统御地球大气，而另一名弟子管辖四方海域。”（OneofmystudentsrulestheEarthatmosphere，another–theoceans.）

天下武功纷繁庞杂，而以内御外方为修行之正途。K41理论正如湍流界的九阴真经，它从内在上试探着湍流的根基，撩拨着湍流的心弦。如果说时至今日的湍流结构研究已渐成一座大厦，那么K41理论正是这座大厦的地基。尽管它之后还将经历一番波折，但它必定永载史册，千年不朽。

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第三百九十章 柯尔莫哥洛夫湍流定理

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