第一百二十二章泰勒公式

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18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（BrookTaylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。

1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。

1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。

1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。

从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。

1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。

泰勒在无聊的玩GeoGebra，里面有个公式:

Y=A0+A1x+A2x^2+A3x^3+A4x^4+A5x^5+A6x^6+A7x^7+A8x^8+A9x^9

然后无聊的拨弄着滑动条来随意改变这些个A值。屏幕上函数图像不断变化着，但那线条总是歪七八扭，不听使唤。他认真了起来，扩大了A值的范围和精度，逐渐找到规律之后，他已经能够调出剑尖，牙齿，猫耳等图像。

他不断增加项数，调整参数，他发现增加的项数越多，他就越能掌控图像的变化。

他像扭铁丝似的上下弯折着曲线，无意中调出了一段波浪形的图像，看着似乎挺眼熟……

——这不是sin函数吗！

他抑制不住自己的兴奋，赶紧输入了标准的sin函数进行对比，同时继续调整多项式，使这个山寨函数尽可能地贴近正品。

他仔细端详着，单看眼前这一段，简直可以以假乱真，不过越到后面，分歧也就越明显了。

他猛然意识到：“我能够控制多项式画出任意图像！甚至把它伪装成其他函数！“

但是他很快冷静了下来，问了自己一连串的问题：所谓的任意，可以是无限制的任意吗？我能否完美地“伪装“出一个目标函数？如果不能，那又能够伪装到何种程度？摆在眼前的具体问题就是，能否“伪装“出一个完美的sin函数？

他决定一探究竟。如果存在某n次多项式等于sin(x);则其导函数也等于sin(x)的导函数；它的二阶导也等于sin(x)的二阶导；它的三阶导也等于sin(x)的三阶导；

……它的n阶导也等于sin(x)的n阶导。

可是，每求导一次，多项式就会降一阶。

求到n阶导不就变成常数了吗？

再导不就归零了吗！

而sin(x)可以无穷阶求导，所以无论n有多大，都不可能完美伪装出sin函数。

除非……n为无穷大？

这就引出了下面的问题：这样的伪装可以到达何种程度？

首先，经过调整，可以使二者的起点一致；然后，可以调整使二者在该点处斜率一致；再然后，可以调整该点处的二阶导数一致；再然后，可以调整该点处的三阶导数一致；

……总之，我们总可以使该点处n阶导数一致。

而n可以无限递增下去，我们的“伪装“就可以无限逼近目标函数。

——埃勒里·泰勒·奎因看着图像的变化，他不禁把那个起点当成了运动的质点，斜率即质点的速度

……他忍不住做起了一个思想实验：没有其他外力，没有初速度的条件下，质点只能静止在原地，毫无自由可言。

给质点一个初速度，我们可以使质点单向匀速运动；若再给定一个加速度，我们可以使速度均匀变化，从而产生拐弯运动；若再给定加速度的变化率，我们使加速度均匀变化，速度拐弯变化，产生可转向拐弯运动；

……如果一开始就设定好质点的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的话，正如用一只无形的手调控着它的命运，那么无论想让它何时拐，往何处拐，如何拐……就全都在初始条件的设计之中了！这一刻，他仿佛触摸到了力量，触摸到了真理，触摸到了前所未有的自由！他大吼一声：“泰勒展开！”

这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。

把求导数的方程，调转一下，就可以得到牛顿迭代。这样的一阶导数、二阶导数……，都可以无限带入进去。

牛顿迭代可以让不能直接得到解的方程，无限接近于解的值，以达到近似的效果。后来泰勒将其改造成泰勒级数来确定很多函数。

对于任意一段连续可求导的函数，都可以与x轴方向得到一个面积的值。在古代，没有人能对很多弧形的图像直接求面积的值的。但是积分就可以，因为牛顿将函数分成无数个斜率，与底边形成了无数个体型而已，对于无数的体型无穷相加，取无限的值，就可以准确计算出这段阴影包含的面积。

泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。

泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。

他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。

此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

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